めだる外伝/ ボーダー理論

ばちんこの期待出玉と期待収支の計算



◆1. はじめに

このサイトでは、主として「ビデオポーカーのホールド戦略」について取り上げています。前項では「期待値と大数の法則」を取り上げ、海外ビデオポーカープレイヤーが、この法則に基づいて期待値が100%を上回る台を長期間にわたってプレイし、利益を得ていることを紹介しました。

国内アミューズ(8号風俗営業店鋪)に関していえば、特別なプロモーションがない限り、常に[*1]ペイアウト率が100%を超えている状況は存在しないと考えられますから、「ゲームで稼ぐ」という表現は馴染みません。長期的には、プレイ数に従って、メダルは想定されたペイアウト率まわりに必ず収斂し、いつの日かメダルは無くなってしまうわけです。

ところが、同じ国内で、7号風俗営業店鋪には、設定によって常にペイアウト率100%を超える台が存在します。一般的に「パチスロ」と呼ばれる「回胴式遊技機」には、一般的に6段階の設定があり、その一番の好設定である「設定6」のペイアウト率は通常100%を超えています。もちろん、設定は通常外から直接見えるものではありません。従って、その台の設定の違いによる挙動を把握するか(いわゆる「設定判別」)、プロモーション等によって設定を知ることで、設定を認識し、「設定6であれば(閉店まで)勝負[*2]」という図式となっているのです。

同じように「ぱちんこ台」にも、設定が存在します。とはいっても、現在主流のCR機には大当たり確率の設定は出荷時設定の一種類しかありません[*3]。
ぱちんこ台でいう設定とは、まさに盤面に見える「釘」そのものなのです。

この事実はビデオポーカーのように、表面確率が露(あらわ)になっているという意味で、非常に通じ合うものがあると思いませんか?。
今回は、この「ぱちんこ台」について取り上げてみようと思います。
このサイトで改めて「ぱちんこ台」取り上げる理由は、その期待値の算出方法が数学的に面白い問題であるという個人的な趣味の意味が強いのですが、どうかお許し下さい。

◆2. 「ボーダー理論」とは

「ボーダー理論」とは、いまから十数年ほど前に石橋達也氏が提唱した、確率理論に基づく「ぱちんこ必勝法」です[*4]。それまでにも、数学者の間では当然のこととして認識されてはいましたが、「投資1000円あたりのデジタル回転数」に着目し、「玉がチャッカーに入賞し(千円分の玉で)これ以上のデジタル回転があれば、長期的に必ず勝てる」という明解な基準を提唱した氏の功績は非常に大きなものだったようです。

つまり「ボーダー理論」とは、要するに「期待値が100%を上回る台をひたすら打つ」ということに他なりません。そこで素朴な疑問が。すなわち「ぱちんこ台の期待値」ってのはどうやって計算するのかという…。

次節以降では、ボーダー理論の基礎となる「ぱちんこ台の期待値」について、考えてゆきたいと思いますが、その前に、ここで若干の7号用語について補足しておくことにしましょう。

【初当り確率/通常時大当たり確率】通常時の大当たり確率
【通常絵柄】大当たりラウンドの消化後、大当たり確率が変化せず同じ確率のままの大当たり絵柄
【確率変動絵柄】大当たりラウンドの消化後、一定の大当たり回数まで大当たり確率が変化する大当たり絵柄
【千円あたりの回転数】千円の貸し玉で、チャッカーに入賞してデジタルをまわすことができる回数
【時間短縮】大当たり抽選時のデジタルの回転から停止(出目確定)までの時間が通常時よりも短縮される機能。結果として、時間あたりに抽選できる回数が増える(効率が上昇する)
【大当り出玉数】大当たり時に、平均的に得られる出玉数
【貸玉単価】遊技するために貸してもらう玉一個あたりの価値
【交換玉単価】出玉を景品に交換するときの、玉一個あたりの価値
【等価交換】貸し玉単価と交換玉単価が同じ価値であること
【持ち玉遊技】大当たり出玉を景品に交換せずに、次の大当たりを狙って遊技を継続すること
【無制限営業】すべての大当たりについて、出玉を持ち玉として遊技に使用できる営業形態
【一回交換営業】通常絵柄大当たりのラウンド消化後すぐに、出玉を景品に交換しなければならない営業形態

◆3. 期待値がちょうど1となる千円あたりに必要な回転数

◇3.1 単純な例

まずはじめに、非常に単純な「ぱちんこ台A」について考えてみましょう。
いま考える台のスペックは、大当たり確率が1/224で、一回の大当たりで2100個の出玉を獲得できるものとします。
営業形態は、貸し玉単価4.0円、交換玉単価も同じく4.0円の等価交換です。

この台は、1/224の確率で大当たりして、その出玉(配当)が2100個ですから、ちょうど期待値が1(=100%)となるようにするための1回のデジタル変動あたりに必要な平均玉数は、
  2100 / 224 = 9.375 (玉)
となります。玉1個のコストは4.0円ですから、このときデジタル一回転に必要なコストは、
  9.375 x 4.0 = 37.500 (円/回転)
ですから、これを千円あたりに換算すると、
  1000 / 37.500 = 26.6667 (回転/千円)
となります。すなわち、千円で貸出してもらった玉(1000/4.0=250個)を、チャッカーに入賞させてデジタルを26.6667回以上回転されることができれば、長期的な期待値が100%を超えるということになります。

◇3.2 貸玉単価と交換玉単価との差を考慮する

ところで、世の中の7号営業店鋪のほとんどは、等価営業形態ではなく「貸玉単価」と「交換玉単価」を変えて、営業しています。もちろん、交換玉単価(両替単価)のほうが貸玉単価よりもレートは低いことはいうまでもありません(でないと、みんな玉を借りてすぐに交換しますよね?)。

貸し玉単価は4.0円/玉、交換玉単価は2.5円/玉という営業形態が一般的です。この数字をみて、「損している」と考えるのは早計であって、遊技の結果大当たりを獲得した後の「持ち玉遊技」では、無制限営業の場合、初当りまでのコストである4.0円/玉ではなく、交換玉単価である2.5円/玉という安い単価で、遊技を続行できるということに注意する必要があります。

すなわち、持ち玉で遊技すればするほど、デジタルを回転させる単価を低く抑えることができるわけです。
いま上記の台Aについて十分に、持ち玉があるとしたとき――すなわち十分長期にわたって持ち玉遊技をすることで、初期に投資する4.0円/玉単価の打ち出し分が無視できる場合を考えましょう。

2100個の出玉の価値は、デジタル一回転あたり、
  2100 x 2.5 x 1/224 = 23.4375 (円/回転) ...(3.2.1)
です。一方デジタル一回転に必要なコストは、デジタル一回転あたりに必要な平均玉数をnとすると、
  n(玉) x 2.5 = 2.5 n (円/回転) ...(3.2.2)
となります。

期待値が1となるためには、式(3.2.1)と式(3.2.2)とがとる値が等しいときなので、
  n = 23.4375/ 2.5 = 9.375 (玉)
となり、いま千円あたりの必要回転数をNとおくと、
  N = 1000/4.0 /n = 250/n ...(3.2.3)
と表すことができますから、求める千円あたりの回転数(ボーダー回転数)Nは、
  N = 250/9.375 = 26.6667 (回転/千円)
と求めることができます。

すなわち、持ち玉が十分ある場合のボーダー回転数は、等価交換とかわりないということになります。

◇3.3 一回交換の場合

一回交換営業の場合は、すべての大当たりの後に交換しなければなりません。すなわち初当りまでの打ち玉は、すべて4.0円の価値をもつことになります。

一方、デジタル一回転に必要なコストは、4.0 n (円)となり、期待値が1となるときの、デジタル一回転あたりに必要な平均玉数nは、
  n = 23.4375 / 4.0 = 5.859375
求める千円あたりの回転数(ボーダー回転数)Nは、
  N = 250/5.859375 = 42.6667 (回転/千円)
と求めることができます。

◇3.4 持ち玉比率

さて、もっとも一般的な営業形態である「無制限営業」の場合は、初当りまでの打玉は単価が貸し玉単価である4.0円/玉で、初当り後の打玉は、交換玉単価である2.5円/玉の価値をもつことになります。

「どのくらいの稼動で、持ち玉比率がどのくらいになるのか?」という議論は、後の項で議論することとして、一般的に、5〜8時間の稼動の場合、持ち玉比率は0.7〜0.8程度となります。いま、持ち玉比率を0.7とするとき、デジタル一回転に必要なコストは、
  ( 2.5 x 0.7 + 4.0 x 0.3 ) n = 2.95 n (円/回転)
と表すことができます。

期待値が1となるときの、デジタル一回転あたりに必要な平均玉数nは、
  n = 23.4375 / 2.95 = 7.944915
となるので、求める千円あたりの回転数(ボーダー回転数)Nは、
  N = 250/7.944915 = 31.46667 (回転/千円)
と求めることができます。

一般的に、パチンコ雑誌等に掲載されているボーダー回転数とは、このように5〜8時間程度の稼動を見込んでいます。ですから、19時以降だけしか遊技しない場合のように、稼動時間に制約がある場合は、ボーダー回転数はもっと大きくなります。

◇3.5 CR機の連雀を考慮する(「CR海物語」等の場合)

現在主流になっているCR機(専用のプリペイドカードを用いて遊技するぱちんこ台)では、特定の大当たり絵柄で大当たりすると、大当たり確率が変化するようになっています。「確率変動」――「カクヘン」というヤツです。

これまでに考えてきた基本的なぱちんこ台Aの場合は、一回の大当たりの期待出玉Rは2100個で一定でしたが、確率変動の機能がある場合は、その分も見込む必要があることはいうまでもありません。このように、確率変動のある「ぱちんこ台B」のボーダーラインについて考えてみましょう。

一般的に、確率変動大当たり絵柄で大当たりすると、次の大当たりまで、持ち玉が減ることなく大当たりします。

いま、確率変動絵柄数と、通常絵柄の数とが半々、すなわちそれぞれ1/2である場合を考えることにしましょう。
この確率変動時における大当たりの平均継続数(連雀数)Tは、
  T = 1 + Σ(1/2 + (1/2)^2 + ... ) = 1 + 1/(1-1/2)
   = 3
となります。

一回の大当たりの出玉を2100個とすると、一回の初当りでの期待出玉Rは以下のようになります。
  R = 1/2 x 2100   (通常絵柄)
    +1/2 x 2100 x T (確率変動絵柄)
   = 4200 (個)

初当たり確率1/315.5(確率変動時大当たり確率1/63.1), 確率変動継続回数1回というスペックの場合、上記3.2〜3.4節と同様に、交換率と営業形態によって、期待値がちょうど1となるために必要な千円あたりの回転数を求めると、次の表のようになります。

表-1 ぱちんこ台Bのボーダー回転数

  一回交換 無制限(持ち玉比率μ)
μ=0.5 μ=0.6 μ=0.8
2.5円 30.0476 24.4137 23.2869 21.0333
3.0円 25.0397 21.9097 21.2837 20.0317
4.0円 18.7798 18.7798 18.7798 18.7798


◇3.6 時間短縮機能を考慮する[*5](「CR大ヤマト」等の場合)

2002年の秋から登場した新CR基準機では、大当たり後に時間短縮機能がついています。こんどは、このような「ぱちんこ台C」について考えてみます。

この時間短縮中に玉減りがないもとのすると、t回のデジタル時間短縮中に大当たりを引く確率uは、初当り確率を1/F とすると、
  u = 1 - (1 - 1/F)^t
と表すことができます。

3.5節と同様に、確率変動絵柄数と、通常絵柄の数とが半々、すなわちそれぞれ1/2である場合を考えます。すべての大当たり後の時間短縮回数が100回であるとすれば、初当り一回あたりの期待出玉数Rは、一回の大当たりの出玉を2100個とするとき、
  R = 1/2 x 2100 x u x R     (通常絵柄)
    +1/2 x 2100 x ( T + u x R) (確率変動絵柄)
   = 1/2 x 2100 x (1 - (1 - 1/F)^100) x R     (通常絵柄)
    +1/2 x 2100 x ( 3 + (1 - (1 - 1/F)^100) x R) (確率変動絵柄)
となります。

初当たり確率1/356.3(確率変動時大当たり確率1/59.4), 確率変動継続回数1回というスペックの場合、上記3.2〜3.4節と同様に、交換率と営業形態によって、期待値がちょうど1となるために必要な千円あたりの回転数を求めると、次の表のようになります。

表-2 ぱちんこ台Cのボーダー回転数

  一回交換 無制限(持ち玉比率μ)
μ=0.5μ=0.6 μ=0.8
2.5円 25.6192 20.8156 19.8549 17.9334
3.0円 21.3493 18.6806 18.1469 17.0794
4.0円 16.0120 16.0120 16.0120 16.0120


◆4. 持ち玉比率の計算

さて、上記のように等価交換営業でない場合は、「持ち玉比率」がボーダー回転数や期待収支に影響を与えることがわかります。
それでは、その「持ち玉比率(μ)」はどのように計算すればよいのでしょうか?。

もちろん実戦においては、(初当りまでに打ち込んだ)4.0円の貸し玉単価の玉数(B0)と、持ち玉で打ち込んだ(例えば2.5円の)玉数(B1)とを計数することで、
  μ = B1/(B0+B1)
のように簡単に計算することができます。

実戦では、運良くはじめの五百円で大当たりして、十分な持ち玉を保有できることもあれば、平均大当たり周期の三倍以上デジタルを回転させても、持ち玉を得られない場合も考えられます。

しかし、非常に長い目でみれば、持ち玉を得るまでの平均的な期間というのは、結局のところ平均周期(F)となります。

いま、ぱちんこ台を打つ時間(稼動時間)全体をW(分)とするとき、まったくのロスタイム[*6]が存在しないものとすれば、この稼動時間は、
  1) 初当りを引くまでの貸し玉単価で打っている時間(w1)
  2) 大当たりラウンドを消化している時間(w2)
  3) 確率変動時に、大当たりを引くまでの時間(w3)
  4) 持ち玉で大当たりを引くまでの時間(w4)
の和となっています。

確率変動時に玉の増減がないものとすれば、持ち玉比率(μ)は、
  μ = w4/(w1+w4)  ...(4.1)
と表すことができますから、稼動時間Wから1)〜4)の平均的な時間を求めればよいことになります。

ぱちんこ台は、1分間に100個の玉を打ち出すので、初当りまでの平均所要時間(w1)は、大当たり確率を1/F、デジタル一回転あたりの平均必要玉数をnとすると、
  w1 = F x 100/n  ...(4.2)
と表すことができます。

大当たりラウンドの消化時間や大当たり出玉数は、アタッカー付近の釘調整により異なりますが、出玉数2100個の場合は、概ね3分30秒前後です[*7]。実際には、大当たりに関する演出のために、もう少し時間がかかるものと思っていた方がよいでしょう。例えば一回の大当たりについて、5分と見当すると、
  w2 = 5.0 x (W - w2 - w3)/w1  ...(4.3)
と表すことができます。

ここで式(4.3)の右辺の(W - w2 - w3)/w1 は、稼動時間Wあたりの通常時期待大当たり数を表していて、これに通常大当たり時一回あたりの期待出玉数Rを乗じた
  R x (W - w2 - w3)/w1
は、稼動時間Wあたりの期待出玉数となります。

確率変動時の、大当たりを引くまでの時間(w3)は、確率変動時の大当たり確率(1/G)と、確率変動時のデジタル回転効率を考えて求めます。
確率変動時における大当たりの平均継続数(連雀数)をTとすれば、
  w3 = (T-1) x G /n' x (W - w2 - w3)/w1  ...(4.4)
  ただし n' = 確率変動時の一分間あたりのデジタル回転数
と表すことができます。n'の値は、機種によって異なりますが、一般的には15〜20回程度です。

持ち玉で大当たりを引くまでの時間(w4)は、
  w4 = { (W - w2 - w3)/w1 -1 } x w1  ...(4.5)
となります。

以上の式(4.1)〜(4.5)を連立させて解くと、期待持ち玉比率を求めることができます。いま貸し玉単価4.0円、交換玉単価2.5円で無制限営業形態の「ぱちんこ台B」についてこれを解くことにします。
F=315.5, G=63.1, n'=15を代入して、Wを120分(2時間)から720分(12時間)まで変化させたとき、持ち玉比率μは以下の表のようになります。


表-3 稼動時間と持ち玉比率

稼動時間W持ち玉比率μボーダー回転数
120分(2時間)0.4624.91
180分(3時間)0.6422.88
240分(4時間)0.7321.85
300分(5時間)0.7821.24
360分(6時間)0.8220.83
480分(8時間)0.8620.32
600分(10時間)0.8920.01
720分(12時間)0.9119.80


この結果を見ると、3.4節で述べたように持ち玉比率は、5時間程度の稼動があってはじめて0.8付近に達することがわかります。
すなわち、閉店間際2時間程度の稼動では、(雑誌に掲載されているような)8時間程度の稼動を見込んだ(結果、持ち玉比率が0.7〜0.8の場合の)ボーダー回転数である 22.16〜21.03回/千円よりも、多くの回転数である24.91回/千円が必要であることになります。事実上、2時間以下の稼動では「勝負にならない」ということになるでしょう。

この結果は、交換玉単価が低いぱちんこ店が、「初当り後に勝負がはじまる」ことを意味していると同時に、「早起き」しなければ、どんどん期待値が下がるという特殊なギャンブルであることを示しています[*8]。
それにしても、なんとも時間を要することでしょうか。

◆5. 期待収支の計算

さて、以上のよに「ボーダー理論」に基づいて期待値が1(100%)を超えるために必要な千円あたりの回転数を求めることができたわけですが、実際に気になることは「いま自分が打っている台にどのくらいの収益(あるいは出玉)が期待できるか」ということでしょう。

よく耳にする「(台の)日当」とは、一日稼動を考えた場合の期待出玉数に交換玉単価を乗じたものですから、いま、「ぱちんこ台B」のある台が、千円当たりN'=22.00回転すると仮定(ボーダー回転数の一割増程度)すると、通常時の大当たり1回あたりの収益(B1)は、
  B = (1000/Nw - 1000/N') x F
  ただし Nw = 稼動時間Wのときの千円当たりのボーダー回転数
と表すことができます。

12時間稼動したときの「ぱちんこ台B」のボーダー回転数N(12)は、19.80回/千円ですから、
  B1 = (1000/19.80 - 1000/22.00) x 315.5 = 1,591(円)
となります。12時間稼動で、平均11.01回の初当りが期待ができるので、この場合の期待収支(B)は、
  B = B1 x 11.01 = 1591 x 11.01 = 約17,510円
と算出することができます。

時給に換算して1,460円/時――月20日の稼動で、月収約35万円。計算上の話しですが…。
実際に、常にボーダーライン一割増しの台を長期にわたって打ち続けることというのは、かなりの努力が必要でしょう。

この項ここまで。


[*1] ここにいう「常に」とは、プログレッシブ台のようにある期間は100を超えているということではなくて、いつでもそのマシンのペイアウト率が100%を超えている台のことを指す。
[*2] 風俗営業法によって営業時間帯が定められている状況下では、毎日に非稼動時間帯がある以上、特定台の設定は次営業日も保証されているわけではないので、勝負は閉店までにいかにゲーム数をこなして、「大数の法則」による効果を享受するかにかかっている。
[*3] 8号風営店鋪用に改造された「プロハンター」等の遊技台には、10段階の大当たり確率設定が可能になっています。すなわち、「釘」よりも大当たり確率によるスペック差の方が大きく、この後述べるような「(デジタルが)まわる、まわらない」の議論よりも、「(営業中に設定変更がないのならば、その日)たくさんあたっている台のほうが当りやすい」という結論になります。
[*4] 『*****』(書名失念)
[*5] この節の記述は、「日本遊戯台解放運動協会」http://www3.osk.3web.ne.jp/~yamapu/jpla/ を一部参考にしました。
[*6] 例えば、トイレや食事時間等。
[*7] 和泉 純,『釘本 正当派パチンコ攻略マニュアル』,双葉社, 2002年
[*8] 「射幸心を煽らない仕様」という理念に基づいてこのような状況となっているわけですが、結果一日中の遊技を促すことは、より「不健全」のような気がするのですけれど…。

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